Uoppstilte likningssett
Aktivitet
For å løyse den første oppgåva treng du små brikker eller knappar og fyrstikker.
Oppgåve 1
Truls hadde griser og høner på garden sin. Ifølgje Truls hadde dei til saman 24 auge og 40 bein.
-
Bruk brikkene og fyrstikkene og finn ut kor mange griser og høner Truls hadde på garden sin.
-
Prøv å omsetje opplysningane til algebraspråket. Då får du to likningar, det blir kalla eit likningssett. Løys oppgåva ved hjelp av likningane.
-
Seinare sneik det seg nokre stålormar inn på garden, men det samla talet auge og bein var det same som før. Kor mange høns, griser og stålormar er det på garden no?
Oppgåve 2
Vi har skrudd saman og vege nokre skruar og mutrar.
Det viser seg at to skruar og to mutrar veg 39,0 g, medan ein skrue og tre mutrar veg 28,9 g.
a. Kva veg ein skrue, og kva veg ein mutter?
b. Prøv å setje opp likningar og løyse oppgåva ved hjelp av dei.
Starthjelp
Til oppgåve 1
- La brikkene (knappane) vere auge og fyrstikkene vere bein. Legg ut rett tal på auge og bein og prøv å setje dei saman slik at dei kan representere griser og høner.
- Kor mange dyr er det på garden?
- Kor mange bein kan kvart dyr få?
- Når du skal setje opp likningar: Kor mange ukjende (bokstavar) vil du bruke?
Til oppgåve 2
- Tenk deg at du reknar med eit av setta med skruar og mutrar fleire gonger, slik at du kan samanlikne to sett som har like mange av anten skruar eller mutrar.
Løysing
Oppgåve 1
-
Vi kan leggje ut brikkene to og to, sidan alle dyra har to auge kvar. Med 24 auge blir det 12 dyr.
Så legg vi ut fyrstikker til bein. Først får alle dyra to bein kvar, det blir i alt 24 bein. Då er det 16 bein til overs. Desse legg vi ut to og to slik at nokon dyr får fire bein. Vi ser at det er nok bein til at 8 dyr får fire bein.
Då er løysinga at Truls har 8 sauer og 4 høner.
-
Viss vi skal omsetje frå tekst eller bilete til algebra, må vi gi dei ukjende storleikane namn. I algebra bruker vi bokstavar som namn. Dei ukjende storleikane er talet på griser og talet på høner, så vi må bruke to ukjende variablar.
Vi vel å kalle talet på griser g og talet på høner h.
Første opplysning som skal "omsetjast" er: Dyra har til saman 24 auge.
Grisene har til saman 2g auge og hønene har 2h auge, så opplysninga gir likninga: \(2g+2h=24\)
Andre opplysningar er: Dyra har til saman 40 bein.
Grisene har til saman 4g bein og hønene har 2h bein, så denne opplysninga gir likninga: \(4g+2h=40\)
Då har vi likningssettet:
\(\begin{align}&\text{I} &\qquad2g+2h&=24\\ &\text{II} &\qquad4g+2h&=40 \end{align}\)
Vi trekkjer likning I frå likning II, dvs. vi trekkjer venstresidene frå kvarandre og høgresidene frå kvarandre:
\(\begin{align} \text{II - I}\qquad4g+2h-(2g+2h)&=40-24\\ 2g&=16\\ g&=8 \end{align}\)
Løysing: Det er 8 griser og dermed 4 høner på garden til Truls. - Dette problemet kan vi løse med brikkene og fyrstikkene, sidan også stålormar har to auge kvar:
Det går ikkje an å få færre griser sida vi skal ha plass til 40 bein. Men vi kan flytte bein frå hønene saman slik at det blir nokon dyr utan bein. Då ser vi at der er fleire moglege løysingar:
Vi kan flytte eit par bein frå eit dyr med to bein til eit anna. Då blir det éin gris meir, ei høne mindre og éin stålorm: 9 grisar, 2 høner og 1 stålorm.
Vi kan flytte endå to bein frå eit dyr med to bein til eit anna. Då blir det 10 griser og 2 stålormar, men ingen høner. Vi kan diskutere om vi vil godkjenne denne løysinga.
Oppgave 2
-
Løysing: Ein skrue veg 14,8 g, og ein mutter veg 4,7g.
- Her er det vekta av ein skrue og ein mutter som er dei ukjende storleikane, så vi må bruke bokstavar for desse:
Vi vel at vekta av ein skrue er s gram og vekta av ein mutter er m gram.
"To skruar og to mutrar veg 39,0 g" gir likninga: \(2s+2m=39,0\)
"Ein skrue og tre mutrar veg 28,9 g" gir likninga: \(s+3m=28,9\)
Vi får likningssettet:
\(\begin{align} &\text{I} &\qquad 2s+2m&=39,0\\ &\text{II} &\qquad s+3m&=28,9 \end{align}\)
Vi såg i oppgåve 1 at vi løyste problemet når vi hadde same tal på den eine ukjende (2 skruar) i begge likningar. Så vi gonger alle ledd i likning II med 2:
\(\begin{align} &\text{I} &\qquad 2s+2m&=39,0\\ &\text{II} &\qquad 2s+6m&=57,8 \\ &\text{II - I} &\qquad 2s+6m-(2s+2m)&=57,8-39,0\\ &&4m&=18,8\\ &&m&=4,7\\ &\text{I} &2s+2\cdot4,7&=39,0\\ &&2s&=39,0-9,4\\ &&2s&=29,6\\ &&s&=14,8 \end{align}\)
Løysing: Ein mutter veg 4,7 g, og ein skrue veg 14,8 g.
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Målet med denne aktiviteten er å introdusere løysing av likningssett gjennom arbeid med konkretar. La elevane få sjå at dei kan løyse problemet først utan å ha lært nokre reknereglar for likningssett. Så kan tenkinga rundt løysing av likningssett knytast til måten dei har løyst det praktiske problemet på.
Mogleg tilnærming
La elevane arbeide parvis, og be dei om å notere undervegs i arbeidet.
La alle få eit tilstrekkeleg tal brikker (knappar) og fyrstikker, og presenter oppgåva for dei: Bonden Truls har griser og høner, dei har til saman 24 auge og 40 bein. Kor mange av kvart slag?
Gi elevane tid til å prøve seg fram, leggje ut materiellet og diskutere. Følg med og sjå kva strategiar dei har. Viss nokon er tidleg ferdig, kan dei utfordrast til å prøve å setje opp og lause likningar og sjå om dei får same løysing.
Når dei fleste har ei løysing, kan klassen samlast til fellessamtale. Har alle funne ei løysing? Har alle funne same løysing? Viss dei har komme til ulike løysingar, er det fint å sleppe til alle løysingane. Ikkje fortel kva som er rett og gale, men la det bli ein diskusjon blant elevane. Viss nokon innser at dei har tenkt feil, kan dei forklare kva dei tenkte feil? La nokon forklare korleis dei fann løysinga si. Utfordre dei til å argumentere for kvifor løysinga deira er rett. Kan det finnast fleire enn ei løysing? Kvifor/kvifor ikkje?
Så blir alle utfordra til å finne ein måte å løyse dette problemet ved hjelp av likningar. Når dei har fått tenkt seg om, kan de få opp alle forslag. Kva storleikar ville dei bruke som ukjende i likninga? Kor mange ukjende ville dei bruke? Kan vi løyse ei likning med to ukjende? Hjelpar det viss vi har to ulike likningar med dei same to ukjende? Korleis omset vi frå tekst til likning?
Vi kjem til å få to likningar med to ukjende. I begge likningane har vi 2 gonger talet på høner, men ikkje same tal gonger mengd grisar. Vi ser at viss vi bruker addisjonsmetoden, dvs. trekkjer den eine likninga frå den andre, kan vi finne kor mange griser som bur på garden. Denne metoden passar best til måten vi løyser oppgåva på ved hjelp av konkretar.
Viss nokon bruker ein annan metode, kan de i fellesskap også sjå på den metoden. Kva er likt, og kva er ulikt? Kjem dei fram til same løysing? Kvifor er begge metodar rett? Kva metode er mest effektiv?
Til slutt kjem problemet med stålormane. Er det då mogleg å løyse oppgåva med likningssett? Eller må det litt prøving og resonnering til? De kan komme til å få ein diskusjon om det er ein eller to løysingar av dette problemet (kan ein godta ei løysing med 0 høner?).
Når arbeidet med oppgåve 1 er gjorde, blir den følgd opp av oppgåve 2. Den kan løysast med opplysningane i oppgåva. Alternativt kan de ha tilgjengeleg skrur, mutrar og vekter (med nøyaktigheit på 1,0 g) til alle arbeidspara. Læraren må då på førehand ha sett dei saman slik oppgåva seier, evt. finne på andre kombinasjonar. Viss de vel ei slik løysing, får elevane til slutt kontrollere løysingane ved å vege ein skrue og ein mutter kvar for seg.
Arbeidet blir gjennomført på tilsvarande måte med førre problem.
Til slutt må det samanfattast, slik at de prøver å unngå at nokon dreg med seg misforståingar:
- I desse problema må vi bruke to ukjende, og då må vi ha nok opplysningar/ to likningar for å løyse dei.
- Vi kan løyse problema på ulike måtar, ved å prøve oss fram, ved å bruke konkretar eller teikne eller ved å setje opp likningar. Vi må kunne sjå samanhengen mellom desse framgangsmåtane.
- Når det gjeld løysing av likningssett ved rekning, er det addisjonsmetoden som ligg nærast det vi gjer når vi løyser problemet praktisk. Sørg for at alle får sjå korleis ein kan skrive ei løysing slik at ho er forståeleg for andre som skal lese ho.
Gode rettleiingsspørsmål
Til oppgåve 1
-
La brikkene (knappane) vere auge og fyrstikkene vere bein. Legg ut rett tal på auge og bein og prøv å setje dei saman slik at dei kan representere griser og høner.
-
Kor mange dyr er det på garden?
-
Kor mange bein kan kvart dyr få?
-
Når du skal setje opp likningar: Kor mange ukjende (bokstavar) vil du bruke?
Til oppgåve 2
- Tenk deg at du reknar med eit av setta med skruar og mutrar fleire gonger, slik at du kan samanlikne to sett som har like mange av anten skruar eller mutrar.
Mogleg utviding
Læreverkene tilbyr mange tilsvarande problem, både uoppstilte og oppstilte likningssett. La elevane få bruke den metoden dei er mest fortruleg med, addisjonsmetoden eller innsetjingsmetoden. Så kan dei etter kvart utvide repertoaret av løysingsmetodar.
Ressursen er utviklet av Matematikksenteret
