Uoppstilte likningar

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Vi introduserer uoppstilte likninger ved hjelp av konkreter. Det er en lav inngangsterskel til problemet. Og det å sette opp likninger kan sees på som en direkte «oversettelse» fra det konkrete resultatet til algebraspråket.

Elevene får dessuten erfare at det er vi selv som bestemmer hva den ukjente størrelsen i likningen skal være, og at vi kommer fram til samme løsning uansett hvilken mulig verdi vi lar være ukjent.

Mulig tilnærming

La elevene arbeide i par. Sørg for at alle har tilstrekkelig mange brikker i rødt, blått og grønt, og gi dem oppgavene. Du finner en kopioriginal med oppgavene her.

Følg med på hvordan elevene arbeider og hvilke løsninger de velger. Du må vurdere når det passer å ta en stans og snakke litt sammen i fellesskap.

Noen elever kommer kanskje ikke lenger enn å løse problemet med konkreter. La dem få presentere løsningen sin og be dem forklare hvordan de har tenkt og hvorfor de mener løsningen er riktig.

Kanskje er det nødvendig at du forklarer eller repeterer hva en likning er. Hvis flere synes det er vanskelig å «oversette» fra det konkrete til algebraspråket, kan det passe å stanse litt etter at alle har fått tid til å gruble over oppgave 2.  Det er viktig at du som lærer ikke bare viser elevene hvordan de skal sette opp likningene. Like viktig er det at du som lærer sørger for at det er helt tydelig hva som er riktig løsning, etter at dere har sett ulike løsninger og diskutert. Få fram flest mulig forslag fra elevene og ta utgangspunkt i disse når dere diskuterer. La elevene få presentere hva de har gjort. Sørg for at de også forteller hvordan de har tenkt og hvorfor de mener det de har gjort er riktig. Sier de algebraiske uttrykkene det samme som teksten i oppgaven? Hvor mange ukjente er det i likningen? Hvordan går det an å lage en likning med bare én ukjent? Hvilket tall kan være det ukjente tallet? Er det flere tall som kan være det ukjente?

Etter dette kan elevene arbeide videre med oppgavene. Sørg for at de noterer underveis og at de skriver ned alle likningene de lager.  

Etter at de fleste har arbeidet seg gjennom oppgavene, kan de få presentere løsningene sine. Ha fokus på

1. oversettelse fra det konkrete til algebraspråket
2. oppgavene kan løses med flere ulike valg for tallet som skal være det ukjente
3. ulike bokstaver kan være symboler for ukjente tall, det kan være x, R, B, G eller andre bokstaver. Det som er avgjørende, er at det er tydelig hva bokstavene står for.
4. når likningene er løst, er ikke oppgaven løst. Det må komme en tolkning av det tallet som blir løsning i likningene, og man må formulere et svar på spørsmålet i oppgaven.

Til slutt kan dere få en diskusjon om oppgavene 8 og 9. Kan oppgave 8 løses? Og kan oppgave 9 løses?

Mange har sikkert funnet at oppgave 8 kan løses, men at løsningene ikke blir hele tall. Så i det konkrete tilfellet i oppgave 8, finnes det ingen løsning. Når vi løser med brikker, må løsningen være et helt tall.

Hvis noen er ferdig lenge før de andre, finnes en ekstra utfordring til slutt.

Gode veiledningsspørsmål

Til arbeidet med å løse oppgaven ved hjelp av brikker:

• Kan du legge brikker i tre kolonner slik at forholdet mellom dem blir sli oppgaven sier?
• Hvor mange brikker har du brukt til sammen?
• Hvis du har lagt ut for få brikker, hvor kan du fylle på med flere uten at forhodet mellom dem forandres?
• Hvis du har lagt ut for mange brikker, hvor kan du ta bort brikker uten at forholdet mellom dem forandres?
• Hvordan kan du kontrollere at brikkene du har lagt ut, gir riktig løsning?

Til arbeidet med å sette opp likninger:

• I en likning bruker vi bokstaver på plassene til ukjente tall. Hvilke bokstaver vil du bruke her?
• Hvor mange ukjente tall har du i likningen du setter opp?
• Kan du lage en likning der det bare er én ukjent bokstav?

Til elever som har løst likningene sine:

• Kan du bruke løsningen til å svare på spørsmålet i oppgaven?

Mulig utvidelse

Ekstra utfordring:

Står som siste oppgave.

Bruk 20 brikker til å lage fire kolonner slik at

• den fjerde kolonnen inneholder like mange brikker som den andre og den tredje kolonnen til sammen
• den første kolonnen inneholder \(2\frac12 \) ganger så mange brikker som det er i den tredje kolonnen

Her er det ikke mulig å sette opp en enkelt likning. Den er heller ikke mulig å løse som et likningssett. Mange kan løse oppgaven med konkreter. Hvilke likninger kan vi skrive når vi oversetter oppgaveteksten til algebraspråket? Herfra må vi resonnere eller prøve oss fram. Hvordan kan vi gå fram for å gjøre det videre arbeidet systematisk?

Gode veiledningsspørsmål:

• Ta utgangspunkt i én av kolonnene. Hvilken vil du velge? Hvilken av kolonnene er involvert i begge opplysningene som er gitt i oppgaven?
• Fins det flere enn én løsning? Hvordan kan du være sikker på at det ikke finnes noen flere løsninger enn den du har?