Konstruer trekantar!
Aktivitet
Bruk ein 10-sida terning eller noko anna som kan gi tre tilfeldig valde tal mellom 1 og 10 (f.eks. kort med tal 1–10 frå ein kortstokk, men legg tilbake kortet for kvar trekking).
Når du har fått tre tal, skal du konstruere ein trekant med desse tala som sidelengder.
Dersom du ikkje er sikker på korleis du konstruerer ein trekant ved hjelp av linjal og passar, kan du sjå på denne videoen.
Gjer nokre fleire forsøk med å konstruere trekantar ut frå tre tilfeldige tal mellom 1 og 10.
Kva legg du merke til?
Her er nokre spørsmål du kan tenkje over:
- Når du har fått tre tal som skal vere lengde på sidekantane, kan du då konstruere fleire ulike trekantar?
- Er det alltid mogleg å konstruere trekantar ut frå tala du får?
- Er det nokon rask måte for å avgjere om det vil vere mogleg å konstruere ein trekant med tre gitte tal?
Her er eit spel du kan spele åleine:
Begynn med 10 poeng. Trill terningen tre gonger. Dersom du kan bruke tala til å konstruere ein trekant, får du eitt poeng. Kan du ikkje det, må du trekkje frå eitt poeng. Dersom du får 20 poeng, har du vunne spelet. Får du 0 poeng, har du tapt.
Kva resultat er mest sannsynleg?
Her er eit spel du kan spele saman med ein annan:
Spelar A vel ei heil lengde mellom 1 cm og 10 cm. Spelar B trillar så terningen to gonger, slik at de får lengda på dei to neste sidene. Dersom det er mogleg å konstruere ein trekant med desse tala, vinn B, dersom ikkje, vinn A.
Er det nokre lengder det er smart av A å velje?
Er dette eit rettferdig spel?
Aktiviteten kan utvidast med at de prøver å konstruere ein firkant med fire tilfeldig valde tal mellom 1 og 10.
Løysing
Med ein gitt kombinasjon av tre tal kan du ikkje konstruere fleire ulike trekantar. Du kan konstruere trekantar som ser forskjellige ut, avhengig av kva lengde du vel som grunnlinje. Men alle trekantane du konstruerer, vil ha lik form, dei vil berre vere litt forskjellig plasserte eller spegelvende.
Det er ikkje mogleg å konstruere ein trekant med alle kombinasjonar av tre tal, for eksempel dersom du får tala 8, 3 og 4:
Løysinga er at summen av dei to kortaste sidene må bli større enn den lengste sida.
Dersom den lengste sida er 8 cm, må summen av dei to andre vere større enn 8 cm.
Vi kan lage ei oversikt over alle kombinasjonar av tal som saman med 8 kan lage ein trekant:
8 10 10
8 10 9
8 10 8
8 10 7
8 10 6
8 10 5
8 10 4
8 10 3
OBS! Når 10 er det største talet, må summen av dei to andre vere større enn 10.
8 9 9
8 9 8
8 9 7
8 9 6
8 9 5
8 9 4
8 9 3
8 9 2
OBS! Når 9 det største talet, må summen av dei to andre vere større enn 9.
8 8 8 Herifrå er 8 det største talet.
8 8 7
8 8 6
8 8 5
8 8 4
8 8 3
8 8 2
8 8 1
8 7 7
8 7 6
8 7 5
8 7 4
8 7 3
8 7 2
8 6 6
8 6 5
8 6 4
8 6 3
8 5 5
8 5 4
På tilsvarande måte kan vi setje opp alle moglege kombinasjonar med alle dei moglege sidelengdene.
Kva for kombinasjonar er det flest av?
Det er fleire kombinasjonar som ikkje gir trekant, enn dei som gir trekant. Så i det første spelet er det meir sannsynleg å ende med 0 poeng enn med 20 poeng.
Dersom spelar A vil at B ikkje skal vinne, bør A velje 1 cm. Det er svært få kombinasjonar som har ei side på 1 cm, berre likebeina trekantar: 10–10–1, 9–9–1 osv. Så dersom A vel 1 cm, må B få to like tal for å vinne. Dette er altså ikkje eit rettferdig spel.
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Dette er eit spennande utgangspunkt for å konstruere trekantar med linjal og passar. Elevane får også arbeide med det som ligg i omgrepa «umoglege» trekantar og kongruens. Oppgåva utfordrar elevane til å tenkje på permutasjonar, kombinasjonar og sannsyn.
Mogleg tilnærming
Du må forsikre deg om at elevane veit korleis dei skal konstruere ein trekant, når dei kjenner dei tre sidelengdene. Dei treng blanke ark (ikkje med ruter eller linjer), linjal og passar. Dei treng også 10-sida terningar eller noko anna som kan gi tilfeldige tal mellom 1 og 10 (f.eks. korta 1–10 frå ein kortstokk). Det er viktig at elevane konstruerer, for dersom dei berre lagar hjelpefigurar og set på mål, er det fort gjort å bli lurt til å tru at ein «umogleg» konstruksjon er mogleg.
La elevane arbeide i par.
«Kvart par bestemmer kven som skal begynne med å generere tre tilfeldige tal mellom 1 og 10. Så skal den andre konstruere ein trekant med desse tre tala som sidelengder. De får eitt poeng for kvar trekant de klarer å konstruere. Når den første oppgåva er løyst, skal de byte roller. Den som har flest poeng etter fem rundar, har vunne. De må notere poenga etter kvart.»
La elevane arbeide med denne oppgåva ei stund. Så kan du samle klassen og høyre kva erfaringar dei har gjort, om det er noko spesielt dei har funne ut undervegs, eller om det er ein samanheng dei trur kanskje må gjelde.
Dersom ingen har kommentarar, kan du for eksempel spørje:
«Har nokon eksempel på at de kan konstruere fleire ulike trekantar med same tal?» Her kan det bli ein diskusjon om kongruens og kva det betyr at to trekantar er like eller ulike.
«Har nokon sett eksempel på tal som det ikkje gjekk an å lage trekantar av?» Del tavla i to, og skriv opp eksempel som elevane har på trekantar som kan konstruerast, og trekantar som ikkje kan konstruerast.
«Diskutere med partnarane dykkar, og prøv å finne ei forklaring på at løysingane på den eine sida kan konstruerast, medan trekantane på den andre sida ikkje kan konstruerast.»
«Snart vil eg gi dykk tre store tal. De må kunne seie meg om ein kan konstruere ein trekant med desse tala eller ikkje, og kvifor eller kvifor ikkje.»
Etter at elevane har fått litt tid til å diskutere, kan du samle dei igjen og gi dei tre andre tal, for eksempel {35, 43, 79} eller {12, 23, 32}. La dei tenkje seg litt om, og be dei forklare om desse tala kan vere sidelengder i ein trekant eller ikkje. Til slutt må de i fellesskap konkludere med ein klar regel for korleis ein kan avgjere om ein trekant kan konstruerast eller ikkje.
Å spele og analysere desse tre spela kan vere ei høveleg oppfølging:
- Spelar A vel ei heil lengde mellom 1 cm og 10 cm. Spelar B trillar så terningen to gonger, slik at de får lengda på dei to neste sidene. Dersom det er mogleg å konstruere ein trekant med desse tala, vinn B. Dersom ikkje, vinn A.
Er det nokre lengder det er smart av A å velje? - Spelar A trillar terningen og får eit heilt tal mellom 1 og 10. Spelar B trillar så terningen to gonger, og no har de fått lengda på alle tre sidene. Dersom de kan konstruere ein trekant med tala, får B eitt poeng, dersom ikkje får A eitt poeng. Førstemann til 20 poeng har vunne.
Er dette eit rettferdig spel? - Eit solospel: Begynn med 10 poeng. Trill terningen tre gonger. Dersom du kan bruke tala til å konstruere ein trekant, får du eitt poeng, dersom ikkje må du trekkje frå eitt poeng. Får du 20 poeng, har du vunne spelet, får du 0 poeng, har du tapt.
Kva resultat er mest sannsynleg?
Mogleg utviding
Elevane kan prøve å avgjere kva slags vinklar trekanten har, berre ved å sjå på sidelengdene.
Kan dei seie om trekanten er rettvinkla, har spisse vinklar eller har stumpe vinklar, berre ved å sjå på tala?
Kan dei sjå på tala og avgjere om nokre trekantar blir likebeina eller likesida?
Elevane kan også undersøkje kva som skjer dersom dei bruker fire tilfeldig valde tal mellom 1 og 10, og prøver å konstruere firkantar. Du kan oppmuntre dei til å gjere undersøkingane ved å teikne i GeoGebra.
Mogleg støtte
Dersom de vil gå nærare inn på kombinatorikken og å få oversikt over alle moglege kombinasjonar, kan det vere enklare å bruke ein 6-sida terning. De kan organisere og analysere alternativa og finne sannsynet for å få ein trekant eller ikkje, og sannsynet for å få ein rettvinkla, likebeina eller likesida trekant.
Ressursen er utviklet av NRICH