Sideflatene i prismet

Dette biletet viser at:

• Lengda av den gule sidekanten multiplisert med lengda av den blå sidekanten må bli 12.
• Lengda av den raude sidekanten multiplisert med lengda av den blå sidekanten må bli 18.
• Lengda av den raude sidekanten multiplisert med lengda av den gule sidekanten må bli 24.

Løysing ved å prøve seg fram

Vi kan begynne med å tenkje på to tal som multiplisert med kvarandre blir 12. Det vil avgjere kva den blå og den raude lengda i den lilla flata må vere. Så kan vi kontrollere om vi då får rett areal på den oransje flata.

Vi ser på den grøne sideflata først. Dersom den gule sidekanten er 6 cm, må den blå vere 2 cm. Då må den raude sidekanten vere 9 cm, sidan arealet av den lilla sida er 18 cm2. Den raude lengda multiplisert med den gule lengda blir då 9 cm ⋅ 6 cm = 54 \(cm^2\). Denne løysinga går ikkje, for då får vi feil areal på den siste sideflata.

Dersom den gule lengda er 2 cm, må den blå lengda vere 6 cm. Då må den raude lengda vere 3 cm. Det blir feil, for då ville den oransje flata få arealet 2 cm ⋅ 3 cm = 6 \(cm^2\).

Dersom den gule lengda er 4 cm, blir den blå lengda 3 cm. Då blir den raude lengda 6 cm. Dette stemmer, for når vi multipliserer gul lengde og raud lengde, får vi nettopp 4 cm ⋅ 6 cm = 24 \(cm^2\).

Sidekantane i prismet er altså 3 cm, 4 cm og 6 cm lange, og volumet av prismet er då 3 cm ⋅ 4 cm ⋅ 6 cm = 72 \(cm^3\).

Å finne sidelengdene ved hjelp av algebra

Vi kallar sidelengdene a, b og c. Då er ab =12, ac = 18 og bc = 24.

Herifrå kan vi prøve oss fram, slik som ovanfor, eller vi kan bruke likningar:

\(ab = 12 \implies a = \frac{12}{b}\\ ac = 18\\ \frac{12}{b} \cdot c= 18\\ c=18 \cdot \frac{b}{12} = \frac{3b}{2}\\ bc = 24\\ b \cdot \frac {3b}{2} = 24\\ b^2 = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16\\ b=4\\ a= \frac {12}{b}= \frac{12}{4}=3\\ c= \frac{3b}{2} = \frac{3\cdot4}{2} = 6 \)

Vi finn at a = 3 cm, b = 4 cm og c = 6 cm, og volumet av prismet er då
3 cm \(\cdot\) 4 cm \(\cdot\) 6 cm = 72 cm³.

Å bruke algebra til å finne volumet direkte

Vi let sidelengdene vere a, b og c som ovanfor.

Volumet av prismet er V = abc.

\(ab \cdot ac \cdot bc=a^2b^2c^2 = (abc)^2 = V^2\\ 12 \cdot 18 \cdot 24 = V^2\\ V = \sqrt{12 \cdot18 \cdot24} = 72\)

Volumet av prismet er altså 72 cm³.