Omkrinsens moglegheiter
Aktivitet
Sjå filmen nedenfor.
Kor mange andre omkrinsar kan du finne til rektangel med areal \(24\:cm^2\)?
Spel av filmen nedanfor for å sjå kva dei gjorde etterpå.
Vurder desse spørsmåla:
- Kva for andre oddetalsomkrinsar kan du lage dersom arealet er \(24\:cm^2\)?
- Kva er den minste omkrinsen du kan lage dersom arealet er \(24\:cm^2\)?
- Kva er den største omkrinsen du kan lage dersom arealet er \(24\:cm^2\)?
- Kva for omkrinsar mellom den minste og den største er det mogleg å lage?
Meir generelt:
- Er det mogleg å lage eit rektangel med ein omkrins som ikkje er eit heilt tal, medan arealet er eit heiltal?
- Er det mogleg å lage eit rektangel der omkrinsen er eit heiltal, medan ikkje er det?
Starthjelp
Sjå for deg to øyar med areal 24, den eine med storleik \(6\cdot4\), den andre med storleik \(12\cdot2\).
Kva for ei av øyane har mest land langs havet?
Løysing
Nokre moglege rektangel med areal \(24\:cm^2\):
| Storleik | Omkrins |
| 4 cm · 6 cm | 20 cm |
| 3 cm · 8 cm | 22 cm |
| 2 cm · 12 cm | 28 cm |
| 1,5 cm · 16 cm | 35 cm |
| 0,5cm · 48 cm | 97 cm |
| 0,25 cm · 96 cm | 192,5 cm |
| 0,000001 cm · 24000000 cm | 48 000 000,000002 cm |
| 0,0000001 cm · 240000000 cm | 480 000 000,0000002 cm |
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Mange matematiske oppgåver om areal og omkrins har fokus på ein av dei om gongen. I denne oppgåva arbeider elevane med begge to samtidig i og med at dei skal finne forskjellige moglege omkrinsar av eit rektangel med gitt areal.
Mogleg tilnærming
Denne kopioriginalen kan være til nytte.
Oppgåva kan føre til mange forskjellige spørsmål som kan utforskast på ulike måtar. Du kan for eksempel vise dei to filmane på oppgåvesida, og introdusere oppgåva på ein liknande måte:
«Eg ser for meg eit rektangel med areal 24 cm2. Kva kan omkrinsen vere?» Elevane kan notere svara sine ei lita stund før du organiserer dei innleiande løysingane deira i ein tabell på tavla, for eksempel slik:
«Sjå på dimensjonane/storleikane og omkrinsane. Kva legg de merke til?»
Noter funn på tavla, for eksempel:
- Alle omkrinsar er partal.
- Omkrinsane blir større og større.
- Summen av dimensjonane på rektangelet (lengde og breidde) er halvparten av omkrinsen.
- Alle dimensjonar er faktorar i 24.
- Når omkrinsen blir større, blir rektangla «smalare/tynnare/lengre».
«Det er fint om de kan forklare det de har lagt merke til. Bruk nokre minutt der de tenkjer på eiga hand, før de snakkar med ein medelev og samarbeider om å finne forklaringar. Stemmer forklaringane for rektangel med andre omkrinsar?»
Etter litt diskusjon kan du seie: «Eg tenkjer på eit rektangel som har eit areal på 24 cm2 og ein omkrins på 35 cm. Kan de bruke kunnskapen dykkar om rektangel til å finne dimensjonane på rektangelet mitt?» Bruk litt tid på ein diskusjon om korleis elevane kan kome fram til ein strategi for å løyse problemet ut frå sine eigne argument.
Set elevane saman i par, og be dei tenkje på eit rektangel kvar, før dei reknar ut arealet og omkrinsen av det. Elevane deler deretter dette med partnaren sin, og utfordringa er å finne dimensjonane i rektangelet til den andre. Gjer dette nokre gonger, og be elevane halde oversikt over resultata sine, for eksempel i ein tabell. Til å begynne med kan det vere lurt at dei vel rektangel der dei kan rekne ut arealet og omkrinsen i hovudet.
Dette er eit godt høve for elevane til å prøve å betre ulike strategiar. Sjølv om det finst algebraiske metodar, kan prøving, feiling og betring gi løysingar nokså fort og effektivt.
Arbeidsøkta kan avsluttast med ei slik utfordring: «Eg tenkjer på eit rektangel med omkrins 21 og areal 20. Kva er dimensjonane i rektangelet mitt?»
Gode rettleiingsspørsmål
- Er omkrinsen til rektangel alltid partal?
- Kvifor blir raktangel "tynnare" når omkrinsen blir større (for rektangel med same areal)?
Mulig støtte
Elevane kan arbeide med rektangel som har fast omkrins, før dei arbeider med rektangel med fast areal.
Ressursen er utviklet av NRICH