Store Fibonacci

Stikkord: Mønster i tallfølge Resonnement

Problem

 

I ei følgje av positive heiltal er kvart ledd etter dei to første ledda lik summen av dei to tidlegare.
I éi slik følgje er det femte leddet 2004.

Kva er den største moglege verdien av det første leddet?

 

Starthjelp

Prinsippet i Fibonacci-talfølgjer:

  • Talfølgja som er kjend som Fibonaccis talfølgje byrjar med tala 1 og 1. Det neste talet er summen av dei to tidlegare, 1+ 1 = 2. Det fjerde talet er summen 1 + 2 = 3, osb.
  • Fyll ut med dei seks neste tala i følgja: 1 – 1 – 2 – 3 – …….. - …….. - …….. - …….. - …….. - ……..
  • I talfølgja i oppgåva må ein starte med andre tal enn 1 og 1. Sidan vi ikkje kjenner starttala, kan vi la a og b representere dei.
  • Kan du uttrykkje tala vidare i følgja ved hjelp av a og b?
  • Korleis vil då det femte leddet sjå ut?

 

Løysing

Viss vi kallar dei to første tala i følgja for a og b, blir dei fem første ledda:

a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b  

2a + 3b = 2004

Både a og b skal vere heile tal, og viss a skal vere så stor som mogleg, må b vere så liten som mogleg.

Viss b = 1 vil 2a = 2001, men det går ikkje sidan a er eit heilt tal. Så b kan ikkje vere lik 1.

Viss b = 2 vil 2a = 1998, og då er a = 999.

 

Dei fem første ledda i følgja blir

999 – 2 – 1001 – 1003 – 2004

 

Ressursen er utviklet av NRICH

10