Flislagt gulv

Bruke mindre golv for å finne samanhengen mellom talet på lilla fliser og storleiken på golvet.
Dersom vi tenkjer oss golv med storleik på frå ei flis og oppover, vil det sjå slik ut:

Merk deg at i alle kvadrata der sidelengda er eit partal, vil det bli eit stort lilla kvadrat i midten.
Ein tabell med oversikt over samanhengen mellom sidelengda på golvet og talet på lilla fliser kan sjå slik ut:

Vi kan sjå eit mønster her. Det verkar som eit golv med sidelengde 8 får 16 lilla fliser.
Eit golv med sidelengde 3 har éi flis meir enn eit golv med sidelengde 2, eit golv med sidelengde 5 har éi flis meir enn eit golv med sidelengde 4, osv. Så eit golv med sidelengde 9 har éi flis meir enn eit golv med sidelengde 8. Golvet med sidelengde 9 vil ha 17 lilla fliser. Kontroller på figuren nedanfor.

Mønsteret ser ut til å stemme.
109 fliser er 1 meir enn 108. Etter dette mønsteret vil sidelengda vere 54 fliser dersom det hadde vore brukt 108 lilla fliser. Då vil eit kvadratisk golv med sidelengde på 55 fliser ha 109 lilla fliser.
Eit kvadratisk golv med sidelengde 55 fliser vil ha i alt 55 · 55 fliser = 3025 fliser.

Bruke mindre golv for å finne eit system:

I alle kvadrat med eit partal som sidelengde vil talet på lilla fliser bli eit partal. Sidan det skal vere 109 lilla fliser, må talet på fliser langs sidene i golvet på badet vere eit oddetal. Vi kan sjå på korleis talet på lilla fliser veks når vi tek for oss berre kvadratiske golv med oddetal som sidelengder.
Merk deg at kvart golv inneheld det førre golvet, markert med ein blå strek:

For kvart golv blir det lagt til 4 nye lilla fliser, ei i kvart hjørne, når talet på fliser langs sidene aukar med 2.
Vi begynner med det minste kvadratet, 1 lilla flis. Kor mange gonger må vi leggje til 4 lilla fliser for å kome til 109 lilla fliser? Det er det same som å finne ut kor mange gonger vi må auke sidelengda med 2.
109 = 1 + 108, og 108 : 4 = 27.
Vi begynner med ei lilla flis og aukar sidelengda i kvadratet med 2 fliser 27 gonger. Då blir sidelengda på golvet 1 + 27 · 2 fliser = 55 fliser.
Eit kvadratisk golv med sidelengde 55 fliser vil ha i alt 55 · 55 fliser = 3025 fliser.

Finne talet på rader:

Figuren nedanfor viser heile golvet, men han er ikkje ferdig utfylt, for vi veit ikkje kor stort kvadratet skal vere.
I kvar rad er det to lilla fliser (markerte med blått), så nær som i den midtarste, der det er berre éi lilla flis (markert med grønt).
Sidan det er 109 lilla fliser, må det vere 108 fliser i radene som inneheld 2 lilla fliser. Det er då 108 : 2 = 54 slike rader, og når vi tel med den eine rada med berre éi lilla flis, blir det i alt 55 rader. Eit kvadratisk golv med sidelengde 55 fliser vil ha i alt 55 · 55 fliser = 3025 fliser.