Integrallikning

\(\int_0^x {f(t)dt = 3f(x) + k} \)

Vi deriverer begge sider av likninga og får

\(f(x) = 3f'(x)\)
 
Viss likninga har noka løsning, er ho på forma
\(f(x) = A{e^{\frac{x}{3}}}\)  , der A er ein konstant. (Kvifor?)

Vi set inn i venstre side av likninga:

\(\int_0^x {A{e^{\frac{t}{3}}}} dt = \left[ {3A{e^{\frac{t}{3}}}} \right]_0^x = 3A{e^{\frac{x}{3}}} - 3A\)
 
\(f(x) = A{e^{\frac{x}{3}}}\) er ei løysing viss, og berre viss, \(k = - 3A \Leftrightarrow A = - \frac{k}{3}\)  .

Løysing:  \(f(x) = - \frac{k}{3}{e^{\frac{x}{3}}}\)