Læreplankoblet

Kan de være like?

Aktivitet

Kristian har tegnet to rektangler:

To rektangler. Det ene har dimensjonene 10 ganger 5. Det andre har dimensjonene 10 ganger 2.

 

Det første rektangelet har en omkrets på 30 enheter og et areal på 50 kvadratenheter.

Det andre rektangelet har en omkrets på 24 enheter og et areal på 20 kvadratenheter.

Kristian lurer på om han kan finne et rektangel med lengde 10 enheter, der omkretsen og arealet har samme tallverdi.

Kan du finne et slikt rektangel?

Amalie sier:
«Det må finnes mange rektangler der omkretsen og arealet har samme tallverdi.»

Kristian er ikke helt sikker.

Kan du finne flere eksempler på slike rektangler?

Kan du komme med et overbevisende argument for å finne ut om Amalie har rett?

 

Starthjelp

Finn sidelengdene til disse rektanglene:

Sidelengder Areal Omkrets
  9 20
  16 20
  21 20
  24 20
  25 20

Tegn rektanglene.

Hva skjer med formen på rektanglene med en bestemt omkrets når arealet øker?

 

Finn sidelengdene til disse rektanglene:

Sidelengder Areal Omkrets
  24 20
  24 22
  24 28
  24 50

Tegn rektanglene.

Hva skjer med formen på rektanglene med et bestemt areal når omkretsen øker?

 

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Noen ganger blir det undervist separat om areal og omkrets av rektangler, noe som kan virke forvirrende. I denne aktiviteten må elevene reflektere over sammenhengen mellom areal og omkrets, og de utfordres til å delta i sofistikert matematisk tenking.

Mulig tilnærming

Arbeidsarket i menyen til venstre kan være nyttig.

Vis elevene figurene under, og be dem om å finne omkretsen og arealet av de to rektanglene.

To rektangler. Ett med sidelengder 5 og 10, ett med sidelengder 2 og 10.

Samle inn svarene.

«Dette er interessant, for det første rektangelet har et areal som numerisk er større enn omkretsen, men det andre rektangelet har et areal som numerisk er mindre enn omkretsen. Kan dere finne et rektangel der arealet og omkretsen numerisk er det samme, altså at de har samme tallverdi?»

La elevene jobbe med denne utfordringen i par, så de kan dele ideer om hvordan de skal gå fram.

«Hvis dere klarer å finne et rektangel som oppfyller kravene, se om dere klarer å finne flere!»

Gå rundt og observer metodene og hvordan elevene resonnerer. Se etter elever som

  • bestemmer én egenskap (sidelengde, areal, omkrets) og endrer de andre med prøv-og-feil-metoden
  • bestemmer én egenskap og bruker algebra for å finne verdien av de andre
  • skriver algebraiske uttrykk for areal og omkrets, setter dem lik hverandre og prøver seg fram ved å bytte ut ulike verdier for å finne en løsning

Elever som strever med å komme i gang, kan få disse spørsmålene:

«Hva er likt i de to rektanglene vi begynte med?»

«Hva kan du endre?»

«Hvordan endrer arealet og omkretsen seg når du endrer høyden på rektangelet?»

Når alle har fått sjansen til å finne noen rektangler som oppfyller kravene, samler du inn noen sidelengder og skriver dem på tavla. Be elevene om å dele de ulike strategiene de brukte.

«Nå skal dere prøve å finne noen rektangler til ved å bruke flere ulike strategier.»

«Tenk på hvor mange ulike rektangler dere kan finne mens dere jobber.»

Avslutt med å la elevene dele ideene sine om hvor mange ulike rektangler som oppfyller kravene, sammen med overbevisende argumenter om hvorfor det er uendelig mange.

Mulig utvidelse

Elevene kan vurdere andre polygoner med numerisk like arealer og omkretser. Hvis noen kjenner til Pytagoras, kan de undersøke rettvinklede og likebeinte trekanter. De kan også undersøke prismer der overflatearealet er numerisk likt volumet.

Mulig støtte

Her er en introduksjon som gir mer støtte:

Si at du tenker på et rektangel. Be elevene om å finne sidelengdene hvis

  • arealet er 24 og omkretsen er 20
  • arealet er 24 og omkretsen er 22
  • arealet er 24 og omkretsen er 28
  • arealet er 24 og omkretsen er 50

Skriv løsningene på tavla. La elevene forklare hva de legger merke til (f.eks. formen på rektanglene eller at omkretsen alltid er partall).

Gjenta prosessen, men hold omkretsen konstant på 20 denne gangen. Kan de finne sidelengdene i rektangler med areal 9, 16, 21, 24 og 25?

Her er en annen aktivitet som kan hjelpe elevene til å bli bedre til å finne de ulike egenskapene hos rektangler:

Elevene lager sitt eget kortspill. Hver kortstokk skal inneholde flere sett med tre kort om et spesifikt rektangel – ett kort med areal, ett med omkrets og ett med sidelengdene. Elevene må så finne kortene som hører sammen. Hver elev kan lage åtte sett med tre kort, stokke dem og få en annen elev til å finne kortene som hører sammen.
 

Ressursen er utviklet av NRICH

8